工具都讲完了，现在面对一道陌生题——你怎么知道该掏哪一件？
这一章不教新工具，教调度：卡住时，脑子里该按什么顺序自问。匈牙利数学家波利亚（George Pólya）把解题拆成四步，朴素得近乎常识，但常识恰恰是新手最容易跳过的。
一、波利亚四步（用人话说）
- 看懂题在问什么。 已知是什么？要求的是什么？把条件一条条抄下来，把结论用自己的话复述一遍。一大半"做不出"，其实是"没读懂"。
- 找一条路。 这一步最难，也是七件工具上场的地方——下一节给你一张"翻路口的牌子"。
- 照路走，每步都站得住。 把想法落成一步步严谨的推导（怎么写，第 16 章细讲）。
- 回头看。 答案对吗？拿小情形验（第 2 章）。有没有更短的路？这套法子还能解别的题吗？回顾这一步，新手几乎全跳过，而它正是把"做对一道"变成"会做一类"的关键。
二、卡在第二步时，按这张牌子翻
第二步"找路"最让人干瞪眼。给你一份自问清单，从上往下问，对上哪条就往哪条走——这等于把前面十四章压成一页路标：
先看题目要你做什么：
- 要证"一定存在 / 必有两个 / 至少有一个"？→ 抽屉原理（第 4 章）：谁当鸽子、谁当笼子。
- 要证"办不到 / 不可能 / 变不过去"？→ 不变量（第 6 章）找一个怎么折腾都不变的量；或同余（第 8 章）找一个让目标余数现原形的模。
- 要证"办得到 / 存在某种构形"？→ 构造法（第 9 章）：亲手造一个，逐条验。
- 要证"不存在 / 无穷多 / 唯一 / 无理"？→ 反证法（第 7 章）：假设反面，推到撞墙。
再看题目长什么样：
- 一堆地位平等、无从下手的对象？→ 极端原理（第 5 章）：先拎出最大或最小的那个。
- 有交换不变的对称？→ 不妨设排队 / 配对求和（第 10 章），省掉一半。
- \(n\) 太大、太抽象？→ 笨办法（第 2 章）：拧小到 1、2、3，摆一排找规律。
- 正面走岔路太多？→ 逆推（第 7 章）：从目标倒着走，用目标那头的硬限制砍枝。
还卡着？ 那就回到最笨的两条：算几个小情形（第 2 章），和把图标满 / 把条件列全（第 14 章）。规律和路口，常常就在你老实动手之后才现身。
三、现场演示：看我把一道题想出来
光给清单是纸上谈兵。下面我把上面的流程真用一遍，连带我中途的犹豫，都摊给你看。
例 15.1（☼☼☼，经典：六人聚会） 证明：任意 6 个人里，要么有 3 个人两两都认识，要么有 3 个人两两都不认识。 （“认识"是相互的：\(A\) 认识 \(B\)，则 \(B\) 也认识 \(A\)。）
第一步，看懂。 已知：6 个人，每两人之间，非"认识"即"不认识”，二选一。要证：必能挑出 3 个人，他们之间要么全是"认识"，要么全是"不认识"。
第二步，找路。 翻牌子：题目要证"必有 3 个……"，是个"一定存在"型——抽屉原理（第 4 章）该上。可鸽子笼子怎么设？6 个人两两配对关系太多，乱。这时第二条提示响了：对象太多无从下手，先拎一个特殊的出来（第 5 章的破对称起手）。
那就随便盯住一个人，叫他甲。甲跟其余 5 个人之间，每段关系非"认识"即"不认识"——5 段关系（鸽子）装进"认识 / 不认识"两个类（笼子）。\(5\) 只鸽子 \(2\) 个笼子，由抽屉原理，必有一类至少占 \(3\) 段（因为 \(5=2+2+1\) 顶多让每类 2 个，第 5 个逼出 3）。
两类是对称的（第 3 章"不妨设"），不妨设甲"认识"的人里至少有 3 个，挑出其中三个，叫乙、丙、丁。
现在只剩乙丙丁三人之间的关系要看，分两种情况：
- 若乙丙丁中有任意两个互相认识（比如乙和丙），那么甲、乙、丙三人两两认识——找到"3 个互相认识"，成。
- 若乙丙丁中没有任何两个互相认识，那乙、丙、丁三人就是两两都不认识——找到"3 个互不认识"，也成。
两种情况都落进了结论。
第三步，照路走。 上面这段已经是完整推理了，誊清即可（第 16 章教誊法）。
第四步，回头看。 答案站得住吗？站得住。能不能更短？这条已经很干净。还能解什么？把“认识/不认识”换成“红边/蓝边”，这就证明了图论中拉姆齐数 \(R(3,3)\) 不大于 6。要证明它恰好等于 6，还须另举一个五人反例。就这样。
请你回看我刚才的动作：抽屉（找存在）卡住 → 极端/破对称（先拎一个人出来）解套 → 不妨设（对称省一半）→ 分类讨论收尾。 一道吓人的题，是四件工具接力打下来的，没有一处靠"灵感"。这就是清单的用法——不是背它，是卡住时一条条往下问，让工具自己跳出来举手。
这一章要带走的东西：
- 波利亚四步：看懂题 → 找路 → 照走每步站得住 → 回头看。新手最爱跳的是第一步和第四步，恰恰最值钱。
- 卡在"找路"时，按清单自问：先看题目要你证什么（存在/办不到/办得到/不存在），再看题目长什么样（地位平等/有对称/\(n\)太大/岔路多）。
- 实战里一道题常是几件工具接力，不是单打——抽屉卡住就破对称起手，再用不妨设省力。
- 还卡着，就回到最笨两招：算小情形、把条件列全。
就这样。