最后一个战场是几何。几何题最让人崩溃的，是那条辅助线：标准解答里轻轻一句"连结 \(AD\)"，整道题豁然开朗，可你盯着图看半天，根本想不到该连哪儿。于是你认定：几何靠灵感，灵感我没有。
我要拆掉的就是这个误会。辅助线不是魔术，它是有动机的。 画线的人不是天上掉灵感，而是心里揣着明确的目的去画。把这几个目的认全，辅助线就从"想不到"变成"该这么试"。
一、辅助线的三个动机
几乎所有辅助线，都为下面三件事之一而画：
- 把分散的东西凑到一起。 条件里的角、边、线段东一个西一个，用不上力。画一条线，把它们搬到同一个三角形、同一条直线上，让它们能互相说话。（典型：连接、延长、平移一条线段。）
- 造出一个"好用的图形"。 你手上的定理大多是关于全等三角形、相似三角形、平行线、圆的。图里没有现成的，就画线造一个出来——补全平行四边形、作垂线得直角三角形、连半径用圆。
- 利用对称（第 10 章）。 图形有对称轴或对称中心时，辅助线画在对称轴上，或作某点关于某线的对称点，常常一画就把两半接上。
记住：画辅助线之前，先问自己"我想让哪两个东西见面"或"我缺一个什么图形"。 带着目的去画，而不是乱试。
二、面积法：一个图形，两种算法
竞赛几何里有一件特别趁手、又常被新手忽略的工具——面积法。它的诀窍是：
同一块面积，用两种不同的方式去算，让两个算式相等。
这一相等，常常就把你想要的关系逼出来了。它的厉害在于绕开了复杂的角度追逐，直接用"面积守恒"说话。
例 14.1（☼☼，维维亚尼型） 等腰三角形 \(ABC\) 中 \(AB=AC\)。\(P\) 是底边 \(BC\) 上任意一点。证明：\(P\) 到两腰 \(AB\)、\(AC\) 的距离之和，是个与 \(P\) 无关的定值。
设 \(P\) 到 \(AB\) 的距离为 \(d_1\)，到 \(AC\) 的距离为 \(d_2\)，两腰长都记作 \(a\)（即 \(AB=AC=a\)）。
把 \(\triangle ABC\) 切成两块：连 \(AP\)，它把大三角形分成 \(\triangle ABP\) 和 \(\triangle ACP\)。面积守恒——两小块之和等于整块：
$$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}.$$现在分别算两小块。\(\triangle ABP\) 以 \(AB\) 为底，对应的高正是 \(P\) 到 \(AB\) 的距离 \(d_1\)，所以 \(S_{\triangle ABP}=\frac12\,a\,d_1\)；同理 \(S_{\triangle ACP}=\frac12\,a\,d_2\)。代进去：
$$\frac12 a\,d_1+\frac12 a\,d_2=S_{\triangle ABC}\ \Longrightarrow\ d_1+d_2=\frac{2\,S_{\triangle ABC}}{a}.$$右边只跟三角形本身有关，跟 \(P\) 在哪一点无关。所以 \(d_1+d_2\) 是定值。就这样。
回味面积法的劲：我们没去追任何一个角，只是把同一块面积横着算一遍、竖着算一遍，两种算法一相等，结论自己冒出来。几何题里凡是出现"距离之和、高、面积"的字眼，先想想能不能用面积法把同一块面积算两遍。
三、相似与角度追逐：把"形状一样"用起来
另两件几何主力，简单点一下，配合上面的动机用：
- 相似三角形：两个三角形形状相同（对应角相等），它们的对应边就成比例。看见两个角分别相等，就该警觉"这俩三角形相似"，于是边长之间有了等式可列。辅助线动机 2"造个好用图形"，多半就是去造一对相似（或全等）三角形。
- 角度追逐：从已知的角出发，用"三角形内角和 180°““等腰三角形两底角相等"“平行线同位角相等"“圆周角是圆心角的一半"这些规则，像接力一样一步步把未知的角推出来。它最朴素，也最稳，几何题卡住时，先把图上所有能标的角都标出来，路往往就显出来了。
例 14.2（☼，角度追逐热身） \(\triangle ABC\) 中 \(AB=AC\)，顶角 \(\angle A=40°\)。求底角 \(\angle B\)。
等腰三角形两底角相等，\(\angle B=\angle C\)。三角形内角和 \(180°\)：
$$\angle B+\angle C+\angle A=180°\ \Rightarrow\ 2\angle B+40°=180°\ \Rightarrow\ \angle B=70°.$$就这样。 简单，但这就是角度追逐的全部精神：从已知角，靠几条规则，一步步推到未知角。
四、几何战场的上手清单
- 先把图标满：已知的边长、角度、相等关系，全标到图上，让条件可见。
- 想画辅助线时，先定动机：我要让哪些分散的量见面？我缺哪个好用图形（全等/相似/平行/圆）？有没有对称轴可借？带着目的画。
- 出现面积、高、距离之和 → 试面积法：同一块面积算两遍。
- 出现成比例的边、相等的角 → 找相似三角形。
- 求某个角 → 角度追逐：从已知角用内角和、等腰、平行、圆周角接力推。
- 图形对称 → 用第 10 章的眼光，辅助线往对称轴上招呼。
几何不靠天赋，靠的是"标满图 + 认准辅助线的动机 + 手里几条定理”。多做几道，你也会"轻轻一句连结 \(AD\)"。
这一章要带走的东西：
- 辅助线不是魔术，它有三个动机：把分散的量凑到一起、造一个好用图形、借对称。
- 面积法：同一块面积算两遍，让两算式相等，逼出结论（距离之和、高的问题首选）。
- 相似看"角等→边成比例”，角度追逐从已知角一步步接力推未知角。
- 上手先把图标满，再带着明确动机画线。
至此，七件工具与四大战场都讲完了。最后两章，谈谈卡住时怎么想、想出来后怎么写。
就这样。