第三个战场是代数。竞赛代数最常考两样：不等式（证明某个量总不小于/不大于另一个）和函数方程（一个满足某条等式的未知函数，把它求出来）。两样听着抽象，下手处其实很集中。
一、一切不等式之母：平方非负
不等式题千变万化，但有一句压舱的铁律，几乎所有初等不等式都从它生出来：
$$\text{任何实数的平方都不小于零：}\quad x^2\ge 0,\ \text{且 }x^2=0\text{ 当且仅当 }x=0.$$废话一句，威力无穷。因为它给了你一个永远成立的"地基不等式"，你只要把要证的式子配成一堆平方之和，它就自动 \(\ge 0\)。这套手艺叫配方。
例 13.1（☼） 证明：对任意正数 \(a\)，有 \(a+\dfrac1a\ge 2\)，等号当且仅当 \(a=1\)。
把右边挪过来，盯着 \(a+\frac1a-2\)。它能配成平方吗？因为 \(a>0\)，通分：
$$a+\frac1a-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}.$$分子是平方 \(\ge0\)，分母 \(a>0\)，所以整个 \(\ge0\)，即 \(a+\frac1a\ge2\)。等号要 \((a-1)^2=0\)，即 \(a=1\)。就这样。
整道题的劲，全在认出 \(a^2-2a+1=(a-1)^2\) 这一步配方。证不等式，第一个该试的动作就是：移项，把它配成平方（或平方和）。 配出来了，“平方非负"替你收尾。
二、均值不等式：算术平均压不住几何平均
由"平方非负"再走一步，得到竞赛里用得最多的一把武器——均值不等式（AM–GM）。两个正数版最常用：
$$\frac{a+b}{2}\ \ge\ \sqrt{ab}\qquad(a,b>0),\ \text{等号当且仅当 }a=b.$$左边是"算术平均”，右边是"几何平均"。这条说的是：两个正数，算术平均永远压不下几何平均，除非它俩相等。 它怎么来的？还是平方非负：\((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\) 展开就是 \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)。
它最值钱的用处是求最值：
例 13.2（☼☼） \(x>0\) 时，求 \(x+\dfrac{4}{x}\) 的最小值。
对 \(x\) 和 \(\frac4x\) 这两个正数用均值不等式：
$$x+\frac4x\ge 2\sqrt{x\cdot\frac4x}=2\sqrt4=4.$$等号当 \(x=\frac4x\)，即 \(x=2\) 时取到。所以最小值是 4。就这样。
注意均值不等式求最值的灵魂：乘积是定值时，和最小。 这里 \(x\cdot\frac4x=4\) 是个定值（不管 \(x\) 怎么变），所以它们的和有个压不破的底 4。看见"几个正数的乘积是常数，求它们的和的最小值"（或反过来），第一反应就是均值不等式。
\(n\) 个数的版本也成立，长一个样：\(\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\)，等号当全部相等。用第 10 章的对称眼光看，等号总在"所有数相等"时取到——这条几乎是所有对称不等式的共同脾气，能帮你预判最值在哪。
三、函数方程：往里代特殊值
函数方程是给你一条对所有 \(x\)（或所有 \(x,y\)）都成立的等式，让你求出那个未知函数 \(f\)。面对一个看不见长相的 \(f\)，新手无从下手。下手处其实很固定：往里代特殊值。
等式对所有变量成立，那它对你挑的任何具体值也成立。于是你可以挑那些能"制造信息"的值代进去：代 \(x=0\)、\(x=1\)、\(x=y\)、\(y=x\)、或者把 \(x\) 换成某个和它对称的量。每代一次，就榨出一条关于 \(f\) 的具体方程；攒够了，联立解出来。
例 13.3（☼☼） 函数 \(f\) 对一切实数 \(x\) 满足 \(f(x)+2f(1-x)=x\)。求 \(f(x)\)。
等式对所有 \(x\) 成立。第一招：把 \(x\) 换成它的对称伙伴 \(1-x\)（这一步是第 10 章对称的眼光——式子里 \(x\) 和 \(1-x\) 成对出现）。换完得：
$$f(1-x)+2f(x)=1-x.$$现在手里有两条方程，未知的是 \(f(x)\) 和 \(f(1-x)\)：
$$\begin{cases} f(x)+2f(1-x)=x &(1)\\ 2f(x)+f(1-x)=1-x &(2)\end{cases}$$把它们当成二元一次方程组解。\((2)\times2-(1)\)：
$$4f(x)+2f(1-x)-\big(f(x)+2f(1-x)\big)=2(1-x)-x,$$$$3f(x)=2-3x\ \Longrightarrow\ f(x)=\frac{2}{3}-x.$$代回原式验一下：\(f(x)+2f(1-x)=(\frac23-x)+2(\frac23-(1-x))=\frac23-x+2(x-\frac13)=x\)，对上了。就这样。
函数方程的标准套路，全在这道题里：代特殊值（尤其是对称的替换）→ 攒够方程 → 联立解出 → 代回验证。 最后那步验证别省，函数方程极易混进"假解"。
四、代数战场的统一手感
- 不等式：移项，配成平方或平方和（“平方非负"是地基）；见到"积定求和"或"和定求积”，上均值不等式；等号多在"全相等"时取到（对称）。
- 函数方程：代特殊值（\(0,1,x=y\)、对称替换），把抽象的 \(f\) 榨成具体方程，联立解，最后代回验证。
- 第二部的工具仍在：对称（第 10 章） 指引你该代哪个值、等号在哪；笨办法（第 2 章） 让你先试小情形猜出 \(f\) 的样子再证。
上手清单（代数题）
- 证不等式 → 先移项配方；遇"积定/和定"求最值 → 均值不等式，记"等号在相等时取"。
- 函数方程 → 代特殊值（\(0\)、\(1\)、\(x=y\)、对称替换）攒方程，联立解，代回验证。
这一章要带走的东西：
- 一切不等式之母是"平方非负"：证不等式先想配成平方和。
- 均值不等式：算术平均 \(\ge\) 几何平均，等号在相等时取；积定则和最小。
- 函数方程的钥匙是"代特殊值"，尤其对称替换；解完务必代回验证。
就这样。