七件工具的最后一件，最优雅，也最省力：对称。
对称的全部好处，一句话：当一个东西"左右两半长得一样"时，你只需弄懂一半，另一半白送。 这是光明正大的偷懒——少算一半，少证一半，还不丢分。第 3 章那个"不妨设"（WLOG），其实就是对称在替你省力：几种情况本质一样，挑一种写，其余照搬。
会用对称的人，看一道题先眯起眼睛找：这里头有没有什么东西，交换一下、翻一下、转一下，还是它自己？ 找到了，省力的口子就开了。
一、配对求和：把首尾凑成一对
第 1 章高斯算 \(1+\cdots+100\)，把首尾配对，每对都是 101——那其实就是对称的第一次出场。这个"配对"的招，能对付很多看着吓人的求和。
例 10.1（☼☼☼，经典） 设 \(f(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}\)。求
$$f\!\left(\tfrac{1}{1001}\right)+f\!\left(\tfrac{2}{1001}\right)+\cdots+f\!\left(\tfrac{1000}{1001}\right).$$
1000 项，逐个算是发疯。先眯眼找对称：这些自变量 \(\frac{1}{1001},\frac{2}{1001},\dots,\frac{1000}{1001}\)，关于 \(\frac12\) 左右对称——\(\frac{k}{1001}\) 和 \(\frac{1001-k}{1001}\) 正好对称地分居 \(\frac12\) 两侧，而且这两个数加起来等于 1。
这暗示我们去算 \(f(x)+f(1-x)\)，看会不会有好事发生：
$$f(1-x)=\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=\frac{4/4^x}{4/4^x+2}=\frac{4}{4+2\cdot4^x}=\frac{2}{2+4^x}.$$于是
$$f(x)+f(1-x)=\frac{4^x}{4^x+2}+\frac{2}{4^x+2}=\frac{4^x+2}{4^x+2}=1.$$好事来了：任何一对加起来等于 1 的自变量，函数值之和恒为 1。
回到那 1000 项，把它们首尾配对：
$$\Big(f(\tfrac{1}{1001})+f(\tfrac{1000}{1001})\Big)+\Big(f(\tfrac{2}{1001})+f(\tfrac{999}{1001})\Big)+\cdots$$每一对都是 \(f(x)+f(1-x)=1\)。1000 项正好配成 500 对，每对是 1，总和就是 \(500\)。就这样。
回味：我们一个 \(f\) 的具体值都没算，全靠"自变量两两加起来等于 1"这个对称。碰到一长串求和，先看自变量有没有"关于某点对称、两两能凑成定值"的结构——有，就配对，立刻坍缩成几乘以一个常数。
二、把对称写进解题：先排个队
第 3 章讲过"不妨设 \(a\le b\le c\)"。它的本质是：当题目对几个对象一视同仁（交换它们题目不变），你就有权先给它们排个队，把"谁大谁小"的乱麻一刀切掉。
例 10.2（☼☼） 三个正整数 \(a,b,c\) 满足 \(a+b+c=abc\)。求出所有这样的三元组。
方程 \(a+b+c=abc\) 对 \(a,b,c\) 完全对称——把它们的名字任意对调，方程一字不变。所以不妨设 \(a\le b\le c\)，最后把得到的解做所有排列即可，一个不漏。
既然 \(a\le b\le c\)，那么 \(a+b+c\le 3c\)，于是
$$abc=a+b+c\le 3c\ \Rightarrow\ ab\le 3.$$\(a,b\) 是正整数且 \(a\le b\)，\(ab\le 3\) 只有几种小情形：\((a,b)=(1,1),(1,2),(1,3)\)。逐个试（笨办法，见第 2 章）：
- \((a,b)=(1,1)\)：方程成 \(1+1+c=c\)，即 \(2+c=c\)，无解。
- \((a,b)=(1,2)\)：\(1+2+c=2c\)，解得 \(c=3\)，且 \(3\ge b=2\)，合格。得 \((1,2,3)\)。
- \((a,b)=(1,3)\)：\(1+3+c=3c\)，解得 \(c=2\)，但 \(2
所以在 \(a\le b\le c\) 下唯一解是 \((1,2,3)\)。由对称，全部解就是 \((1,2,3)\) 的各种排列。就这样。
看这道题里对称替你做了多少事：本来 \(a,b,c\) 谁大谁小要分一堆情况，“不妨设"一句话排好队，只剩 \(a\le b\le c\) 一条路要走；走通了，再用对称把答案"复制粘贴"成所有排列。一头省了讨论，一头省了重复，两头都赚。
三、对称的几张脸
对称不止"交换名字"一种，做题时留意这几张脸：
- 交换对称（轮换/置换）：换对象的名字，式子不变 → 可"不妨设"排队（例 10.2）。
- 关于一点/一线对称：自变量关于某点对称、两两凑成定值 → 配对求和坍缩（例 10.1，及高斯配对）。
- 几何对称：图形有对称轴或对称中心 → 翻折、旋转后重合的部分只需算一份；辅助线常常就画在对称轴上（留到第 14 章几何细讲）。
- 打破对称：反过来，第 5 章"先拎出最大的那个”，是故意破坏对称来制造抓手——对称帮你省力，破对称帮你起手，两手都要会。
上手清单
- 先眯眼问：这题里有什么东西，交换/翻转/旋转之后还是它自己？
- 交换对称 → “不妨设"排队，省掉分类，答案最后按对称复制。
- 长串求和 → 找"两两凑定值"的配对，整串坍缩成"对数 × 定值”。
- 卡在对称里无从起手 → 反过来，故意拎出极端的那个打破对称（接第 5 章）。
这一章要带走的东西：
- 对称是光明正大的偷懒：弄懂一半，另一半白送。
- 配对求和：自变量两两凑成定值，长串立刻坍缩（高斯配对的升级版）。
- 交换对称给你"不妨设"的权力：先排队，省掉分类，答案按对称复制。
- 对称省力，破对称起手——两手都要会。
七件工具到此讲完。接下来三章，把它们放进数论、组合、代数、几何四个战场，看它们怎么配合着打。
就这样。