第四件工具，是个心理上很别扭、用起来却极顺手的招数：反着想。
它有两个亲戚。一个叫反证法：要证某件事成立，先假装它不成立，然后一路推下去，直到撞上一堵明显荒唐的墙（“矛盾”）；既然假设会撞墙，那它必然是错的，于是原来要证的事就对了。另一个叫逆推：要从起点走到目标找不到路，就从目标倒着往回走，看它能退到哪儿。
两个亲戚共一个性子：正面攻不动，就绕到背面去。
一、反证法：先假装它是假的
反证法的逻辑，日常生活里你天天在用。“他要是在家，灯早亮了；灯没亮，所以他不在家。” 这就是反证：假设"他在家"，推出"灯该亮"，跟"灯没亮"撞车，于是"他在家"被推翻。
数学里它有个无可替代的用处：专门对付"不存在"“无穷多"“唯一"这类正面很难直接抓的命题。 你没法把"无穷多个"一个一个数给人看，但你可以假设"只有有限个”，然后捅破它。
例 7.1（☼☼☼，欧几里得，两千年前的证明） 证明：质数有无穷多个。
“无穷多"没法正面点数。反过来假设质数只有有限个，把它们全列出来：\(p_1, p_2, \dots, p_n\)，就这么些，再没别的了。
现在我造一个新数（这一步借了第 9 章的构造）：把它们全乘起来，再加 1：
$$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1.$$这个 \(N\) 有个妙处：拿名单上任何一个质数 \(p_i\) 去除它，都会余 1（因为 \(p_1\cdots p_n\) 那部分能被 \(p_i\) 整除，多出来的那个 +1 除不尽）。也就是说，名单上没有一个质数能整除 \(N\)。
可是任何大于 1 的整数，总得有质因数。\(N\) 的质因数，要么是个不在名单上的新质数，要么 \(N\) 自己就是个新质数——无论哪样，都冒出了名单之外的质数。
这跟"名单已经列全了所有质数"直接打架。矛盾。所以"质数只有有限个"是错的，质数有无穷多个。就这样。
回味一下这股劲：我们根本没去找"下一个质数是谁”，只是假设名单列全了，再造一个名单装不下的数，逼它自相矛盾。凡是"正面要穷举、反面只需一个反例就崩"的命题，都该想想反证法。
二、反证法的正确姿势
用反证法，新手常犯两个错，记住别犯：
- 假设要取"恰好的反面”，不多不少。 “至少有一个"的反面是"一个都没有”，不是"只有一个"。“所有都成立"的反面是"至少有一个不成立”，不是"所有都不成立"。把反面取错，整篇白做。
- 撞的那堵墙要是真墙。 矛盾必须是铁的：跟已知条件冲突、跟公认事实冲突、或者自己跟自己冲突（像第 5 章那个"比最小的还小"）。推出个"感觉不太对"不算数，得是货真价实的荒唐。
什么时候优先想反证法？看见这些字眼就该警觉：“不存在"“无穷多"“唯一"“至少/至多"“无理数（不能写成分数）”。这些都是正面难、反面脆的命题，反证法的主场。
三、逆推：从答案往回走
反证是"假设结论假”，逆推是"假设结论已到手，倒着走回去”。很多过程类、构造类的题，正着走岔路太多，倒着走却只有一条道。
例 7.2（☼☼，自编） 有一个数，你每一步只能做两件事之一：乘 2，或者减 3。从 \(1\) 出发，能不能正好走到 \(25\)？
正着走，每一步都有两个岔路，越走越乱。倒着走：到达 25 的上一步是什么？
- 若最后一步是"乘 2”，则上一步是 \(25/2\)——不是整数，作废。
- 若最后一步是"减 3”，则上一步是 \(25+3=28\)。
只剩一条路，继续倒推 28：上一步要么 \(28/2=14\)（合法），要么 \(28+3=31\)。先走 \(14\)。 倒推 14：\(14/2=7\)，或 \(14+3=17\)。走 \(7\)。 倒推 7：\(7\) 是奇数，除 2 不整，只能 \(7+3=10\)。走 \(10\)。 倒推 10：\(10/2=5\) 或 \(10+3=13\)。走 \(5\)。 倒推 5：奇数，只能 \(5+3=8\)。走 \(8\)。 倒推 8：\(8/2=4\)。走 \(4\)。 倒推 4：\(4/2=2\)。倒推 2：\(2/2=1\)。到 1 了！
把这条倒推路翻过来正着读，就是从 1 到 25 的走法：
$$1\xrightarrow{\times2}2\xrightarrow{\times2}4\xrightarrow{\times2}8\xrightarrow{-3}5\xrightarrow{\times2}10\xrightarrow{-3}7\xrightarrow{\times2}14\xrightarrow{\times2}28\xrightarrow{-3}25.$$每一步都只用了“乘 2”或“减 3”，确实到达 25。倒推时，“除以 2 要整除”这个限制，帮你把许多岔路当场砍掉。就这样。
逆推的好处全在这儿：目标那头的限制往往比起点那头更硬，硬限制能帮你砍枝。 走迷宫从出口倒着找入口，常常比从入口闯出口快——同一个道理。
上手清单
- 要证的是"不存在/无穷多/唯一/至少至多/无理"吗？→ 先试反证法：取准反面，推到撞墙。
- 过程题正着走岔路太多？→ 试逆推：假设已到目标，倒着退，用目标那头的硬限制砍枝。
这一章要带走的东西：
- 反证法：假装结论是假的，一路推到撞墙（矛盾），于是结论为真。
- 它专治"不存在/无穷多/唯一/至少至多/无理"这类正面难抓的命题（如质数无穷多）。
- 两条纪律：反面取得不多不少；撞的墙要是真墙。
- 逆推：从目标倒着走，用目标那头的硬限制帮你砍掉岔路。
就这样。