第二件工具，叫极端原理。说出来又是一句近乎废话的话：
一堆东西里，总有一个是最大的，总有一个是最小的。
废话。但这句废话的用法，妙就妙在一个"先"字：面对一团乱麻，先把目光钉在那个最大（或最小）的家伙身上，往往整团乱麻就从这一头解开了。
为什么管用？因为"最大的那个"和"最小的那个"，身上带着别人没有的硬性质——它再也不能更大（或更小）了。这个"到头了"的性质，常常正好是逼出矛盾、或锁死结论的那把钳子。
一、盯住最大的那个
例 5.1（☼☼） 若干个实数排成一圈，每个数都恰好等于它左右两个邻居的平均数。证明：这些数全部相等。
乱糟糟一圈数，从哪下手？先找最大的那个。 设这一圈里最大的数是 \(M\)，它坐落在某个位置，左右邻居记作 \(a\) 和 \(b\)。
因为 \(M\) 是全场最大，所以 \(a\le M\)、\(b\le M\)。又因为题目说每个数是邻居的平均：
$$M=\frac{a+b}{2}.$$两个不超过 \(M\) 的数，平均值要想正好等于 \(M\)，只有一种可能——它俩都正好等于 \(M\)（只要有一个比 \(M\) 小，平均数就拉不到 \(M\)）。于是 \(a=b=M\)。
这下好了：\(M\) 的两个邻居也都是 \(M\)。再看这两个邻居，它们的邻居（一圈往外推）也被同样的理由逼成 \(M\)……一圈是封闭的，转一整圈下来，每个数都被逼成了 \(M\)。全部相等。就这样。
整道题的劲，全在第一句"先找最大的那个"。一旦盯住它，“它不可能更大"这个性质就把邻居一个个锁死，像推骨牌一样传遍整圈。
二、盯住最小的那个：无穷递降
极端原理还有一个更狠的变体，叫无穷递降：假如某个东西存在，我就盯住它当中最小的那一个，然后想办法再造出一个更小的——这就矛盾了，因为"最小的"哪还能更小。于是当初"它存在"的假设就站不住。
最有名的一例，是证 \(\sqrt2\) 不是分数。
例 5.2（☼☼☼） 证明：\(\sqrt2\) 不能写成两个整数之比 \(\dfrac{p}{q}\)。
反着假设它能。 那么在所有能表示 \(\sqrt2\) 的分数 \(\frac{p}{q}\)（\(p,q\) 为正整数）里，盯住分母 \(q\) 最小的那一个。记 \(\sqrt2=\frac{p}{q}\)，于是 \(p^2=2q^2\)。
\(p^2=2q^2\) 是偶数，所以 \(p\) 是偶数（奇数的平方还是奇数）。设 \(p=2k\)，代回去：\((2k)^2=2q^2\)，即 \(4k^2=2q^2\)，约掉得 \(q^2=2k^2\)。同样的话再说一遍：\(q\) 也是偶数。
既然 \(p,q\) 都是偶数，那 \(\frac{p/2}{q/2}\) 也等于 \(\sqrt2\)，可它的分母 \(\frac q2\) 比 \(q\) 更小——这跟"我们盯的是分母最小的那个"直接打架。矛盾。
所以那个假设错了，\(\sqrt2\) 写不成分数。就这样。
注意这里"最小"扮演的角色：它本来该是不可逾越的底，结果我们造出了一个比它还小的，底被捅穿，假设就崩了。凡是"我能从一个解造出一个更小的解"的题，都可以用最小的那个去逼矛盾。
三、为什么"先看极端的"这么常灵
把上面两节的道理抽出来：
- 最大/最小的元素，多带一条独家性质：它到头了。 “再也不能更大"“再也不能更小”，这种话只有它能说。证明里要的那一下狠的，常常就靠这条独家性质。
- 它把一团对称、无从下手的对象，打破成"有一个特殊的”。 一圈数本来谁也不比谁特殊，你没处下手；一旦点出"最大的那个”，对称破了，链条就有了起点。
所以做题时，当你面对"一堆地位平等、无从下手的对象"，第一个该试的动作就是：把最大的（或最小的）那个拎出来，看看它身上那条独家性质能不能用。
上手清单
- 题里有没有一堆"地位平等"的对象（一圈数、一组点、一族解）？
- 把最大或最小的那个拎出来——挑哪个，看哪头的独家性质更好使。
- 用它"到头了"的性质做文章：要么锁死邻居（如例 5.1），要么造一个更极端的逼出矛盾（如例 5.2）。
这一章要带走的东西：
- 极端原理：先盯住最大或最小的那一个。
- 它的力量来自"到头了"——再也不能更大/更小，这条独家性质常是破题的钳子。
- 无穷递降：盯最小的解，再造一个更小的，逼出矛盾（如 \(\sqrt2\) 不是分数）。
- 面对一堆地位平等、无从下手的对象，第一招就是把极端的那个拎出来。
就这样。