现在开始讲那七件笨工具。汤普森说微积分翻来覆去就是 d 和 \(\int\) 两个符号；奥数也一样，真正反复用到的核心招数，就这么七件。学会了，半本竞赛题你都有地方下手。
第一件，最笨，也最让人不敢相信它有用，叫抽屉原理（也叫鸽笼原理）。它整句话是这样：
把 7 只鸽子塞进 6 个笼子，总有一个笼子里至少蹲了两只。
就这么一句废话。废话？是废话。但它是奥数里最厉害的废话之一。
一、一句废话，凭什么厉害
它厉害在哪儿？厉害在它能凭空断定"一定存在"某个东西，却不用把它找出来。
你想想日常我们怎么证明"有两个人同月生"。笨法子是挨个问生日、登记、比对。抽屉原理不问：一年 12 个月（12 个笼子），屋里站了 13 个人（13 只鸽子），人比月份多，必然有两个人同月生。你连一个人的生日都不用知道，结论已经板上钉钉。
这就是它的全部魔力：只要"东西"比"格子"多，就一定有一个格子里挤了不止一个。 数学家把它写得正经一点：
把 \(n+1\) 个物体放进 \(n\) 个抽屉，至少有一个抽屉里有 \(\ge 2\) 个物体。 更狠一点：把 \(kn+1\) 个物体放进 \(n\) 个抽屉，至少有一个抽屉里有 \(\ge k+1\) 个。
第二句也好懂：每个抽屉最多塞 \(k\) 个，\(n\) 个抽屉顶多装 \(kn\) 个，第 \(kn+1\) 个无处可去，只能让某个抽屉超载。
二、用它的全部难处，就一句话：什么当鸽子，什么当笼子
抽屉原理本身是废话，难的从来不是"原理"，是你得想清楚：这道题里，谁是鸽子，谁是笼子。 这一步想对了，题就破了；想不对，干瞪眼。下面三道题，请专门盯着这件事看。
例 4.1（☼） 从 \(1\) 到 \(2n\) 这 \(2n\) 个整数里，任意挑出 \(n+1\) 个。证明：其中必有两个数互质。
谁是笼子？ 把这 \(2n\) 个数按相邻配成对：
$$\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ \cdots,\ \{2n-1,2n\}.$$一共 \(n\) 个对子，这就是 \(n\) 个笼子。
谁是鸽子？ 你挑的那 \(n+1\) 个数，就是 \(n+1\) 只鸽子。
\(n+1\) 只鸽子住进 \(n\) 个笼子，必有两只挤在同一个笼子里——也就是有两个数落在同一对里，它们是相邻的整数。相邻整数（如 \(k\) 和 \(k+1\)）一定互质（公约数得同时整除它俩，也就得整除它们的差 \(1\)，那只能是 \(1\)）。就这样。
这道题的全部功夫，都花在"把数两两配对当笼子"那一步。一旦配好，抽屉原理自动收尾。
例 4.2（☼☼） 从 \(1\) 到 \(2n\) 里任挑 \(n+1\) 个数。证明：其中必有一个数整除另一个。
这回笼子换个造法。任何整数都能写成 "\(2\) 的若干次方 \(\times\) 一个奇数"，比如 \(12=2^2\times 3\)，\(20=2^2\times 5\)。把这个奇数部分叫它的"奇核"。\(1\) 到 \(2n\) 之间的奇数只有 \(n\) 个（\(1,3,5,\dots,2n-1\)），所以"奇核"只有 \(n\) 种——这 \(n\) 种奇核，就是 \(n\) 个笼子。
你挑的 \(n+1\) 个数（鸽子）按奇核归笼，必有两个数奇核相同，设为 \(a=2^s\cdot m\)、\(b=2^t\cdot m\)。它俩只差在 \(2\) 的方次上，方次小的那个就整除方次大的那个。就这样。
同一道"从 \(2n\) 里挑 \(n+1\) 个"的壳子，换个笼子的造法，证出的是另一回事。笼子怎么造，是这类题的灵魂。
三、抽屉也能用在几何上
别以为抽屉原理只管整数。只要有"东西"和"格子"，它就能上。
例 4.3（☼☼） 边长为 1 的正方形里，随手点 5 个点。证明：必有两个点之间的距离不超过 \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)（约 \(0.707\)）。
造笼子： 把这个 \(1\times 1\) 的正方形，用一横一竖两刀切成 4 个 \(\frac12\times\frac12\) 的小方格。这 4 个小方格就是 4 个笼子。
放鸽子： 5 个点放进 4 个小方格，必有两个点落在同一个小方格里。
同一个小方格内，两点能离多远？最远就是它的对角线，长 \(\sqrt{(\frac12)^2+(\frac12)^2}=\frac{\sqrt2}{2}\)。所以这两个点的距离 \(\le \frac{\sqrt2}{2}\)。就这样。
看出套路了吗？几何里的抽屉原理，笼子就是你把图形切成的小块。 要证"必有两点靠得近"，就把大图形切成够小的几块，让点数比块数多，逼出两个挤在同一块里的点。切几块、切多大，由你想要的那个距离倒推。
四、上手清单
碰到"证明一定存在 / 一定有两个 / 必然有……“这类题，别急着找，先问自己三句：
- 题目要我断定"存在"什么？ （这往往就是"同一个笼子里的两只鸽子”。）
- 谁当鸽子？ （通常是题目给你挑的那一堆东西。）
- 谁当笼子？怎么造，才能让鸽子比笼子多？ （这是唯一要动脑的一步：配对、按余数分、按奇核分、切成小块……）
只要鸽子数 \(>\) 笼子数，结论自动到手。你甚至不知道是哪两只挤在一起——而题目也只问"有没有"，不问"是哪个"。 抽屉原理专治这种"证存在、不用找"的题。
这一章要带走的东西：
- 抽屉原理：东西比格子多，必有一格挤了不止一个。
- 它能凭空断定"存在"，却不用把那个东西找出来。
- 全部难处在"造笼子"：配对、按余数分、按奇核分、切成小块。
- 几何里，笼子就是你把图形切出来的小块。
就这样。