上一章末尾我答应你，从最不像天才的办法讲起。现在兑现：先把小的算出来。
这听上去太笨了，笨到你会不好意思动手。一道题摆在那儿，\(n\) 个这个、\(n\) 个那个，你的第一反应往往是"我得找个聪明的通法"。结果就卡在那儿，一个字写不出来。
会做题的人偷偷在干什么呢？他们先把 \(n\) 换成 1，再换成 2、3、4，老老实实把小情形算出来，摆成一排，盯着看。规律常常自己就跳出来了。这不是没办法时的下策，这是高手的第一招。 笨办法万岁。
一、把 \(n\) 拧小，规律自己会冒头
例 2.1（☼） 求 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)\)，也就是前 \(n\) 个奇数之和。
你要是直接对着这一串发愁，容易；你要是先算小的，容易得多：
| 加到第几个 | 算式 | 结果 |
|---|---|---|
| 1 个 | \(1\) | \(1\) |
| 2 个 | \(1+3\) | \(4\) |
| 3 个 | \(1+3+5\) | \(9\) |
| 4 个 | \(1+3+5+7\) | \(16\) |
| 5 个 | \(1+3+5+7+9\) | \(25\) |
\(1, 4, 9, 16, 25\)——这不就是 \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2\) 吗？
规律自己跳出来了：前 \(n\) 个奇数之和，等于 \(n^2\)。
$$1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2$$你没用任何技巧，只是把小的摆成一排，盯着看。这就是笨办法的全部秘密：先看见，再说为什么。
至于"为什么恰好是正方形数"，有个画面能让你一眼看穿——
每加一个奇数，就是给正方形的右边和下边补上一个"┐“形的拐角，正好把一个 \(n\times n\) 的方块，撑成 \((n{+}1)\times(n{+}1)\)。所以和永远是个完美的正方形。看见了，就不用背了。
二、规律是真的，还是巧合？——给你一排多米诺骨牌
笨办法有个软肋：你算了前 5 项对得上，第 100 项就一定对吗？万一规律到后头就崩了呢？
数学家治这个软肋的工具，叫数学归纳法。名字吓人，其实就是推倒一排多米诺骨牌。
要让一长排骨牌全倒下，你只需确认两件事：
- 第一张能推倒（叫"奠基”）。
- 只要某一张倒了，它后面那张必被它砸倒（叫"递推"）。
这两件事一旦都成立，结论就来了：第一张倒 → 砸倒第二张 → 砸倒第三张 → …… 一路倒到底，一张不剩。你不必真的一张张去推，确认那两件事就够了。
例 2.2（☼☼） 用骨牌法证明 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)。
第一张（\(n=1\)）： 左边是 \(1\)，右边是 \(1^2=1\)。对得上，第一张能倒。
后一张靠前一张（假设第 \(k\) 张倒了，推第 \(k{+}1\) 张）： 假设加到第 \(k\) 个奇数时，和正好是 \(k^2\)，即
$$1+3+\cdots+(2k-1)=k^2.$$现在再加上下一个奇数 \(2k+1\)：
$$\underbrace{1+3+\cdots+(2k-1)}_{=\,k^2}+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2.$$正好是 \((k{+}1)^2\)。这就是说：第 \(k\) 张倒了，第 \(k{+}1\) 张必倒。
两件事都成立，骨牌全倒。对一切 \(n\)，结论成立。就这样。
注意那个关键动作：算第 \(k{+}1\) 项时，把"前面那一坨"整个换成 \(k^2\)——因为我们假设它已经倒了。归纳法的全部巧劲，就在这一换。你不重算前面，你站在前一张的肩膀上。
三、笨办法的几条手感
把上面两节合起来，你做题时可以照着做：
- \(n\) 太大就拧小。 把 \(n\) 换成 1、2、3，把对象画出来、列出来、数出来。
- 摆成一排盯着看。 数列、表格、图形，让规律有机会自己现身。
- 猜出规律后，用骨牌法验。 第一张能倒吗？前一张能砸倒后一张吗？
- 能画图就画图。 像奇数和那个拐角，一张图省下一页证明。
例 2.3（☼☼，自编手感题） 一个凸 \(n\) 边形，能画出多少条对角线？
别急着套公式。先拧小：
- 三角形（\(n=3\)）：一条都画不出，\(0\) 条。
- 四边形（\(n=4\)）：\(2\) 条。
- 五边形（\(n=5\)）：\(5\) 条。
- 六边形（\(n=6\)）：\(9\) 条。
得到 \(0,2,5,9\)。相邻两项差 \(2,3,4\)，越差越多，不是等差那么简单。换个角度数：每个顶点能向除自己和两个邻居外的 \(n-3\) 个顶点连对角线，\(n\) 个顶点共连 \(n(n-3)\) 条，但每条都从两头各数了一遍，得除以 2：
$$\frac{n(n-3)}{2}.$$拿去验：\(n=5\) 时 \(\frac{5\times 2}{2}=5\)，对上了；\(n=6\) 时 \(\frac{6\times 3}{2}=9\)，也对。就这样。
这道题告诉你笨办法的另一半：算小情形不只是为了猜公式，也是为了给你的公式当裁判。 你推出个式子，先拿 \(n=3,4,5\) 一验，对不上就是错了，省得带着错式子走一路。
这一章要带走的东西：
- 卡住时第一招：把 \(n\) 拧小，算 1、2、3、4，摆成一排盯着看。
- 规律是真是假，用多米诺骨牌验：第一张能倒 + 前一张砸倒后一张 = 全倒（数学归纳法）。
- 归纳的巧劲在"把前面一坨整个换成假设值"。
- 小情形还能给你的公式当裁判，对不上就趁早改。
就这样。