那些把多数人挡在奥数门外的恐惧，其实可以一劳永逸地除掉——办法只是用大白话，把几个最常出现、最吓人的符号，老老实实讲清楚它们到底是什么意思。
让你害怕的，从来不是题难，而是你不认识它穿的那身衣服。一个穿西装打领带的人，和一个穿背心趿拖鞋的人，可能是同一个人。下面这几个符号，西装革履，看着唬人，脱了外套都是熟人。
我们先来认领它们。
一、那个像闪电的 Σ：意思就是"加起来"
第一个吓人的符号是 Σ（读作 sigma，希腊字母里的大写 S）。
它的全部意思，就是 “把后面这串东西，一个一个加起来”。S 是 Sum（和）的头一个字母，希腊人把它写得花哨了点，如此而已。
比如你想说"从 1 加到 100"，本来要写
$$1+2+3+\cdots+99+100$$写一行嫌长。数学家也嫌长，于是他们把它压缩成
$$\sum_{k=1}^{100} k$$你就照着念：“让 \(k\) 从 1 数到 100，每个 \(k\) 都拿来加，加完为止。” 底下的 \(k=1\) 是"从几开始"，顶上的 \(100\) 是"加到几为止"，Σ 右边那个 \(k\) 是"每次往锅里扔什么"。
就这么三件事：从哪开始、到哪结束、每次扔什么。一个会盛饭的人就会用 Σ。
那它到底等于几？这就轮到一个九岁小孩出场了。
例 1.1（高斯的故事，☼） 传说高斯上小学时，老师为了让全班安静一会儿，出了道题：把 1 加到 100。别的孩子埋头一个一个加，高斯几秒钟交了答案：5050。
他没有硬加。他把这串数头尾配对：
$$1+100=101,\quad 2+99=101,\quad 3+98=101,\ \cdots$$每一对都是 101，一共能配出 50 对，所以总和是 \(101\times 50 = 5050\)。
你看，\(\sum_{k=1}^{100} k = 5050\)。符号吓人，办法是个小孩想出来的。
把高斯这招写成一般的样子，就是奥数里你会反复用到的第一个公式：
$$\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$（头尾配对，每对是 \(n+1\)，共 \(n/2\) 对——当然 \(n\) 是奇数时配法略调，但结果一样，这个我们第 2 章再细说。）
记不住公式不要紧，记住**“头尾配对"那个动作**就行。动作是你的，公式是公式自己的。
二、那个像栅栏的 \(\prod\)：意思就是"乘起来”
既然 Σ 是"加起来"，那它有个亲兄弟 \(\prod\)（读作 pi，大写的 P），意思就是"乘起来"——P 是 Product（积）的头字母。
$$\prod_{k=1}^{4} k = 1\times 2\times 3\times 4 = 24$$跟 Σ 一模一样的用法，只是把"加"换成"乘"。认识了哥哥，弟弟不用重新介绍。
三、那个惊叹号 \(n!\)：不是它在喊，是"连乘到底"
你会看到 \(5!\) 这种写法，后面跟个感叹号，像在冲你嚷嚷。它不嚷嚷，它只是 “从 1 一直乘到这个数” 的简写，叫阶乘。
$$5! = 1\times 2\times 3\times 4\times 5 = 120$$为什么奥数老用它？因为它天生是数"排队方法"的。5 个人排成一排，有多少种排法？第一个位置 5 个人挑，第二个位置剩 4 个人挑，依此类推，\(5\times4\times3\times2\times1=120\) 种。所以 \(n!\) 就是 “\(n\) 个东西排队的花样数”。
一个画面：感叹号 = “全都用上，一个不落地连乘”。
四、那一竖 \(a \mid b\)：意思是"量得尽"
数论题里满眼都是这一竖：\(3 \mid 12\)。
它读作"3 整除 12"，意思朴素得很：用 3 去量 12，正好量尽，不剩零头。12 是 3 的整数倍。反过来 \(3 \nmid 7\)（中间加一斜杠）就是"量不尽，有余数"。
记法：那一竖像一把尺子立在那儿。\(a\mid b\) 就是"拿 \(a\) 这把尺子，量 \(b\) 量得齐不齐"。
五、那个三道杠 \(\equiv\)：钟面上的算术
这是初学者最怕的一个，长得像等号多出一横：\(17 \equiv 5 \pmod{12}\)。它叫同余。
别被它吓到，你每天都在用它——看钟。
现在是 17 点，钟面上指针指向几？指向 5。因为钟面只有 12 个数，转过一圈（12 小时）就归零重来。17 和 5，在 12 小时的钟面上，是同一个位置。 这就是 \(17 \equiv 5 \pmod{12}\) 的全部含义：
两个数除以 12，余数相同，就说它们"模 12 同余"。
\(\pmod{12}\) 这个尾巴，就是告诉你"这是个 12 小时的钟"。换成 \(\pmod 7\)，就是个只有 7 格的钟（一星期七天，就是天然的模 7 钟）。
例 1.2（☼） 今天是星期三，再过 100 天是星期几？
一星期 7 天，是个 7 格的钟。我们只关心 100 除以 7 的余数：\(100 = 7\times 14 + 2\)，余 2。 所以从星期三往后走 2 格：星期四、星期五。答案：星期五。
整整 100 天，你一天都不用数。同余的好处全在这句话里：它让你只盯着余数，扔掉那个庞大的数本身。 数论里大半的"神来之笔"，底子都是这一招。第 8 章我们专门请它出场。
六、那个方括号缺只脚 \(\lfloor x \rfloor\)：向下找整数
\(\lfloor 3.7 \rfloor = 3\)。这个符号叫下取整：从 \(x\) 沿数轴向左找，碰到的第一个整数就是它。正式说法是“不大于 \(x\) 的最大整数”。
\(\lfloor 3.7 \rfloor = 3\)，\(\lfloor -1.2 \rfloor = -2\)。负数也要向左找，不能只把小数部分抹掉。
它常用来回答"装得下几个整的"。\(\lfloor 100/7 \rfloor = 14\) 就是说：“100 里头，7 能整整地装下 14 个，剩点零头不算。”
记法：那两个缺了上半截的方括号，像两只往下压的手，把数压到不超过它的整数上。
七、最该除掉的那个恐惧：你以为要天才
前面六个是纸面上的恐惧，好除。还有一个长在心里的，最该除掉：
“我没数学天分，奥数不是我能碰的。”
这句话拦住的人，比所有符号加起来还多。我老实告诉你：会做奥数题的人，靠的不是某种你没有的天赋，而是手里有几件趁手的工具，并且不怕一件一件去试。
那个从天而降、让你觉得"我这辈子也想不到"的辅助线，那个巧妙的配对——它们看着像灵感，其实多半是有人按部就班试出来的：先试小的（第 2 章），看看有没有怎么折腾都不变的东西（第 6 章），实在不行就反着想（第 7 章）。这本书第二部那七件工具，就是把"灵感"拆成你能上手的动作。
汤普森当年安慰怕微积分的中学生，借了句猴子谚语：“一个笨人能做成的事，另一个笨人照样能做成。” 这句话送给你正合适。下一章，我们就从最不像天才的办法开始——笨办法。
这一章要带走的东西：
- Σ = 加起来；\(\prod\) = 乘起来；\(n!\) = 连乘到底。
- \(a\mid b\) = 量得尽（整除）；\(\lfloor x\rfloor\) = 向下找整数。
- \(\equiv \pmod m\) = 钟面算术，只看余数。
- 真正要除掉的恐惧是"我不是天才"——你不需要是。
就这样。