回到开头那句猴子谚语：一个笨人能做成的事，另一个笨人照样能做成。
这本书从头到尾，只想拆掉一件事——“奥数靠天赋"这个吓人的谎。 我们把吓人的符号脱了西装（第 1 章），把"显然"“不妨设"翻成人话（第 3 章），然后一件一件，把所谓的"灵感"拆成了七件你能伸手去拿的工具：
东西比格子多就挤（抽屉）；先看最边上的那个（极端）；抓住怎么折腾都不变的量（不变量）；正面攻不动就反着想（反证/逆推）；只盯余数别管本身（同余）；办得到就亲手造一个（构造）；左右一样就只算一半（对称）。
再把它们放进数论、组合、代数、几何四个战场，看它们接力配合（第 11–14 章）；最后给你一张卡住时的自问清单（第 15 章），和一套把答案写得让人服气的规矩（第 16 章）。
现在，你手里该有的都有了。剩下的，是这本书教不了、只能你自己挣的东西——练。
工具讲一遍你就懂，但"卡住时第一反应去翻清单"“看见积定就想到均值不等式"“画辅助线前先问动机”——这些手感，只能靠做题磨出来。汤普森教完微积分也是这句话：道理就这么多，剩下靠你自己拿笔算。
给你三条练法，比题海有用：
- 做完必回头（第 15 章第四步）。 每道题做完问三句：核心是哪件工具？我卡在哪、怎么解套的？这招还能解什么别的题？回顾一道，胜过新做三道。
- 卡住时先翻清单，别先翻答案。 按第 15 章那张牌子一条条自问，给自己十分钟。实在不行再看解答，看完盖上重写一遍。
- 重质不重量。 一道好题啃透、能给别人讲明白，比刷十道走马观花强。能讲清楚，才算真懂。
会做奥数题的人，不比你多长一个脑子。他们只是手里攥着这几件笨工具，而且不怕一件一件去试。
现在轮到你了。
就这样。
附录
附录 A 符号小词典
| 符号 | 读法 | 大白话 | 见 |
|---|---|---|---|
| \(\sum\) | sigma | 加起来 | 第 1 章 |
| \(\prod\) | pi | 乘起来 | 第 1 章 |
| \(n!\) | \(n\) 阶乘 | 从 1 连乘到 \(n\)；也是”\(n\) 个东西排队的花样数” | 第 1 章 |
| \(a\mid b\) | \(a\) 整除 \(b\) | 用 \(a\) 量 \(b\) 量得尽，\(b\) 是 \(a\) 的整数倍 | 第 1 章 |
| \(a\equiv b\ (\mathrm{mod}\ m)\) | 模 \(m\) 同余 | 钟面算术：\(a,b\) 除以 \(m\) 余数相同 | 第 1、8 章 |
| \(\lfloor x\rfloor\) | 下取整 | 不大于 \(x\) 的最大整数；如 \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\) | 第 1 章 |
| \(\binom{n}{k}\) | \(n\) 选 \(k\) | 从 \(n\) 个里挑一伙 \(k\) 个（不讲顺序） | 第 12 章 |
| \(\gcd,\ \mathrm{lcm}\) | 最大公约数 / 最小公倍数 | 共有原子取少方次 / 全部原子取多方次 | 第 11 章 |
| \(\iff\) | 当且仅当 | 两件事是一回事，双向都要证 | 第 3 章 |
| \(\therefore\) | 所以 | 前面推出来了 | 第 3、16 章 |
| \(\blacksquare\) / Q.E.D. | 证毕 | 到终点了，收笔 | 第 16 章 |
附录 B 常用结论一页纸（背下来省事）
求和
- \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)（高斯配对，第 1 章）
- \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)（前 \(n\) 个奇数和，第 2 章）
整除与同余
- 相邻整数互质（公因数得整除差 1）。
- \(10\equiv1\pmod 9\)，所以"任何数模 9 = 各位数字之和模 9”（弃九法）；模 3 同理。
- 平方数模 4 只能余 0 或 1（绝不余 2、3）——证"不是平方"的利器，第 8 章。
- 同余可加、可减、可乘；除法须约数与模互质才行。
计数
- \(n\) 元集合有 \(2^n\) 个子集。
- \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)，且 \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)（对称）。
- 方格路径数 \(=\binom{m+n}{m}\)；隔板法：\(n\) 个相同球放 \(k\) 个盒 \(=\binom{n+k-1}{k-1}\)。
不等式
- \(x^2\ge0\)（一切不等式之母，等号当 \(x=0\)）。
- 均值不等式：\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)，等号当 \(a=b\)）；积定则和最小。
抽屉
- \(n+1\) 个东西放 \(n\) 个抽屉，必有一屉 \(\ge2\) 个；\(kn+1\) 个则必有一屉 \(\ge k+1\) 个。
附录 C 七件工具速查牌（卡住时翻第 15 章）
| 题目要你…… | 掏这件 | 章 |
|---|---|---|
| 证"一定存在 / 必有两个" | 抽屉原理 | 4 |
| 一堆地位平等、无从下手 | 极端原理（先拎最大/最小） | 5 |
| 证"办不到 / 变不过去" | 不变量 | 6 |
| 证"不存在/无穷多/唯一/无理" | 反证法 | 7 |
| 只关心余数/末位/整除 | 同余 | 8 |
| 证"办得到 / 存在某构形" | 构造法 | 9 |
| 有交换不变的对称 | 对称（不妨设/配对） | 10 |
附录 D 例题出处与难度说明
下面说明例题的来历；没有确切比赛出处的题，不写成某年某场比赛的试题：
- 经典/民间流传（数学史上著名，无单一确切出处，各教材通用）：高斯求和（第 1、2 章）、欧几里得证质数无穷（第 7 章）、\(\sqrt2\) 无理的无穷递降（第 5 章）、残缺棋盘骨牌（第 6 章）、六人聚会 / 拉姆齐数上界 \(R(3,3)\le6\)（第 15 章）、维维亚尼型面积法（第 14 章）。
- 经典竞赛题型（标准训练题，广见于各国奥数教材，非某一场比赛独有）：黑板擦数留奇偶（第 6 章，常以"\(1\) 到 \(1989\)“形式出现）、\(1/x+1/y=1/2\) 的不定方程（第 11 章）、只含 0/1 的倍数（第 9 章）、\(f(x)+f(1-x)=1\) 型配对求和（第 10 章）、\(a+b+c=abc\)（第 10 章）。
- 自编练手题（我为讲解新编，已逐一核算正确）：凸多边形对角线数（第 2 章）、“乘 2 或减 3 走到 25”（第 7 章）。
难度标注：☼ 热身 / ☼☼ 正经例题 / ☼☼☼ 硬骨头。所有解法只取正确的，凡涉及具体数值（如 \(7^{2024}\) 个位、\(1+\cdots+1989\) 的奇偶、\(f\) 求和得 500）均已验算。若你发现任何一处算错，以你的核算为准，并请告知，我改。
— 全书完 —